TITULO
SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES
GRADO: 9º
AREA: MATEMATICASESTÁNDAR(ES) BASICO DE COMPETENCIA: IDENTIFICA DIFERENTES METODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
COMPETENCIA(S) (a desarrollar en el tema):
· Resuelve sistemas de ecuaciones lineales con dos variables mediante los métodos de sustitución, igualación, reducción.
· Interpreta y da solución a situaciones problemas, mediante sistemas de ecuaciones lineales.
INDICADORES DE DESEMPEÑO
Formular problemas, comparar y contrastar situaciones problemáticas, desarrollar estrategias de solución que requieran una o varias operaciones, identificar y proponer problemas.
PREGUNTA GENERADORA
Por qué es importante saber resolver sistemas de ecuaciones lineales y donde tienen aplicabilidad en la vida practica?
SITUACION DE APRENDIZAJE
Una pelota de 100N, suspendida de la cuerda A forma un ángulo de 30º con la pared vertical. Véase en la figura. Encuéntrense las tensiones de las cuerdas A y B.
Si hacemos el diagrama de cuerpo libre para observar que fuerzas actúan sobre la pelota encontramos que la solución del problema nos conduce a resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables, donde las variables son las tensiones de las cuerdas A y B. Problema que resolvemos usando cualquiera de los métodos para resolver este tipo de sistemas de ecuaciones ya sea por el método de sustitución, igualación, reducción o el método gráfico. Veamos:
∑FX = 0 Y ∑FY = 0
TB –TA COS60º = 0 (1)
TASEN60º - 100N = 0 (2)
DE (1) tenemos que TB= TACOS60º (1’)
TB=0,5TA
De (2) tenemos
TAREA
SISTEMAS DE ECUACIONES EN DOS VARIABLES
Recordemos que el conjunto de verdad de una ecuación lineal en dos variables es una relación:
S= (x,y)/ax + by = d
En general, la solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables:
A1X + B1Y = C1, A1 diferente de cero o B1 diferente de cero
A2X + B2Y = C2, A2 diferente de cero ô B2 diferente de cero, es la intersección de los conjuntos de verdad de cada una de las ecuaciones, y se denomina conjunto solución del sistema.
S = (x, y)/ A1X + B1Y = C1 ∏ (x,y)/ A2X + B2Y = C2
A un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos indeterminadas lo denominamos sistema lineal de ecuaciones en dos indeterminadas.
Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de sustitución
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo:
3X-4Y=-6
2X+4Y=16
1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.
2X=16-4Y X=8-2Y
2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:
3(8-2Y)-4Y=-6
3. Resolvemos la ecuación obtenida
24-6Y-4Y=-6 24-10Y=-6 Y=3
4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.
X= 8-2(3) X=8-6 X=2
5. Solución X=2 Y=3
Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de igualación
1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo:
3X-4Y=-6
2X+4Y=16
1. Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:
3X=-6+4Y X=-6+4Y/3
2X=16-4Y X=16-4Y/2
2. Igualamos ambas expresiones
-6+4Y/3=16-4Y/2
3. Resolvemos la ecuación:
2(-6+4Y)=3(16-4Y) -12+8Y=48-12Y
8Y+12Y=48+12
20Y=60 Y=3
4. Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:
X=-6+4(3)/3= -6+12/3 X=2
5. Solución:
X=2 Y=3
Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de reducción
1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
3. Se resuelve la ecuación resultante.
4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iníciales y se resuelve.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo:
3X-4Y=-6
2X+4Y=16
Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.
3X-4Y=-6 multiplico por 2 6X-8Y=-12
2X+4Y=16 multiplico por -3 -6X-12Y=-48
Restamos y resolvemos la ecuación
6X-8Y=-12
-6X-12Y=-48
_____________
0-20Y=-60 Y=3
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial
2X+4(3)=16
2X+12=16
2X=4
X=2
Solucion
X=2 Y=3
Actividad para resolver en la casa en equipos de tres estudiantes
1. Resuelve por sustitución, igualación Y reducción el sistema:
2X+3Y=-1
3X+4Y=0
2. Resuelve el sistema:
X+Y/2=X-1
X-Y/2=Y+1
3. Halla las soluciones del sistema
X+3Y/2=5
4- (2X-Y)/2=1
5. Resuelve por sustitución, igualación, reducción y gráficamente el sistema:
3X+2Y=7
4X-3Y=-2
6. Resuelve el sistema:
X/2+Y/3=4
X/3+Y=1
7. Halla las soluciones del sistema
(X+1)/3+(Y-1)/2=0
(X+2Y)/3-(X+Y+2)/4=0
.
RECURSOS
Equipo de cómputo, pizarrón, marcador, lapiceros, cuadernos de apuntes, textos.
Fecha de creación: jun 20, 2011 11:14 am (CDT)
HERRAMIENTAS DE ANDAMIAJE:
- Se desarrollara un taller o actividad en la casa en equipos de tres estudiantes, se aplicaran las correcciones del caso de lo realizado por los estudiantes si es necesario y posteriormente se hace una prueba escrita individual (hetereo evaluación).
BIBLIOGRAFÍA Y CIBERGRAFÍA
- Will Darío, Guarín Hugo, Londoño Nelson, Gómez Raúl; Matemática Moderna Estructurada. Editorial NORMA.
- CARDOZA PEÑA, Miguel (2004). “La enseñanza de la Matemática. Pedagogía y Didáctica”. Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, Perú, 100 pp.
